微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

$8 x y$ を $8 x^{3} y - 8 x y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$8 x y$ を $8 x^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

ステップ 1.1.1.2

$8 x y$ を $- 8 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

ステップ 1.1.1.3

$8 x y$ を $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

ステップ 1.1.3

因数分解。

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ステップ 1.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

ステップ 1.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

ステップ 1.3.2

$8$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$y$ を $x y (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

ステップ 1.3.5

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

ステップ 1.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

ステップ 1.3.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + x) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

ステップ 1.3.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

ステップ 1.3.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.8.1.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.3.8.1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.4

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

ステップ 1.3.8.1.5

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

ステップ 1.3.8.1.6

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

ステップ 1.3.8.2

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

ステップ 1.3.8.3

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

ステップ 1.3.9

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

ステップ 1.3.10

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

ステップ 2.3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

ステップ 2.3.4

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $- 8$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$8$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.3

$- 8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ を $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例