微分積分例

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

ステップ 1.2

$e^{x^{3}}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ の微分係数は $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $3 x^{2} y - x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

ステップ 1.4

$3 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x^{2} y$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

ステップ 1.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

ステップ 1.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

ステップ 1.7

$- x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 1.8

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 1.9

簡約します。

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ステップ 1.9.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

ステップ 1.9.2

$3 e^{x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{x^{3}}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

ステップ 2.4.2

$3 e^{x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$3 x^{2} e^{x^{3}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2} e^{x^{3}}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = e^{x^{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.2

総和則では、 $e^{x^{3}} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{x^{3}} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 8.5.2

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 9.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

ステップ 9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

ステップ 9.1.1.4

並べ替えます。

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ステップ 9.1.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

ステップ 9.1.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

ステップ 9.1.1.4.3

$3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

ステップ 9.1.2.2

$3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.2.1

$3 x^{2} y e^{x^{3}}$ から $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

ステップ 9.1.2.2.2

$- x^{2} e^{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 10

$- x^{2} e^{x^{3}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

ステップ 10.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

ステップ 10.4

$u_{2} = e^{x^{3}}$ とします。次に $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.4.1

$u_{2} = e^{x^{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.4.1.1

$e^{x^{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

ステップ 10.4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 10.4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.4.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.4.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 10.4.1.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

ステップ 10.4.1.4.2

$3 e^{x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

ステップ 10.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 10.5

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

ステップ 10.6

答えを簡約します。

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ステップ 10.6.1

$- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ を $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

ステップ 10.6.2

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{3}}$ で置き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$e^{x^{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.2

$e^{x^{3}} y$ から $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ を引きます。

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ステップ 12.2.1

$e^{x^{3}}$ と $y$ を並べ替えます。

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.2.2

$y e^{x^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.2.3

$y e^{x^{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.1

$3$ を $y e^{x^{3}}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.3.2

$e^{x^{3}}$ を $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ で因数分解します。

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ステップ 12.3.2.1

$e^{x^{3}}$ を $3 y e^{x^{3}}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

ステップ 12.3.2.2

$e^{x^{3}}$ を $- e^{x^{3}}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

ステップ 12.3.2.3

$e^{x^{3}}$ を $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例