微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

ステップ 1

$v = e^{2 x + y - 1}$ とします。 $v$ を $e^{2 x + y - 1}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

ステップ 2

$e^{2 x + y - 1}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x + y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + y - 1$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x + y - 1$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x + y - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

ステップ 2.8

$2 + y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

ステップ 3

$v$ を $e^{2 x + y - 1}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

ステップ 5

変数を分けます。

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ステップ 5.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{d v}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

ステップ 5.1.1.2

$- 2 + v + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

ステップ 5.1.1.2.2

$v$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

ステップ 5.1.2

両辺に $v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

ステップ 5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

ステップ 5.1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

ステップ 5.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.2.1

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

ステップ 5.2

両辺に $\frac{1}{v^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

ステップ 5.3

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

ステップ 6

両辺を積分します。

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ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1.1

$v^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.1.2

${(v^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

ステップ 6.2.2

べき乗則では、 $v^{- 2}$ の $v$ に関する積分は $- v^{- 1}$ です。

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.2.3

$- v^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{v} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{v} = x + K$

ステップ 7

$v$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$v, 1, 1$

ステップ 7.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$v$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{v} = x + K$ の各項に $v$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.2.1

$- \frac{1}{v} = x + K$ の各項に $v$ を掛けます。

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$- \frac{1}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

ステップ 7.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

ステップ 7.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = x v + K v$

ステップ 7.3

方程式を解きます。

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ステップ 7.3.1

方程式を $x v + K v = - 1$ として書き換えます。

$x v + K v = - 1$

ステップ 7.3.2

$v$ を $x v + K v$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.2.1

$v$ を $x v$ で因数分解します。

$v x + K v = - 1$

ステップ 7.3.2.2

$v$ を $K v$ で因数分解します。

$v x + v K = - 1$

ステップ 7.3.2.3

$v$ を $v x + v K$ で因数分解します。

$v (x + K) = - 1$

ステップ 7.3.3

$v (x + K) = - 1$ の各項を $x + K$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$v (x + K) = - 1$ の各項を $x + K$ で割ります。

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

ステップ 7.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.2.1

$x + K$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

ステップ 7.3.3.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- 1}{x + K}$

ステップ 7.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$v = - \frac{1}{x + K}$

ステップ 8

$v$ のすべての発生を $e^{2 x + y - 1}$ で置き換えます。

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

ステップ 9

$y$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

ステップ 9.2

左辺を展開します。

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ステップ 9.2.1

$2 x + y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 x + y - 1})$ を展開します。

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

ステップ 9.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

ステップ 9.2.3

$2 x + y - 1$ に $1$ をかけます。

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

ステップ 9.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

ステップ 9.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$

微分積分 例

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