微分積分例

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - 2 x$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} = - 2 x$

ステップ 1.1.2

両辺に $2 + y$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$2 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

ステップ 1.1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x (2 + y)$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$- 2 x (2 + y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot 2 - 2 x y$

ステップ 1.1.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 4 x - 2 x y$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

$- 4 x$ と $- 2 x y$ を並べ替えます。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

ステップ 1.1.4

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ の各項を $\sqrt{1 + x^{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ の各項を $\sqrt{1 + x^{2}}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.2

$\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.1

$\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3.6.5

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.5

$\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.1

$\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.6.6.5

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1

$2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ を $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1.1

$2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ を $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.2

$2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ を $- 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.3

$2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ を $2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 2)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.2.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 2)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.3.1

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 2)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.3.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (2))}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.3.3

$- 1$ を $- (y) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 2))}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.3.4.1

$- (y + 2)$ を $- 1 (y + 2)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 2))}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 2)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y + 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (- \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

ステップ 1.4.2

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- \frac{1}{y + 2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

ステップ 1.4.2.2

$y + 2$ を $\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y + 2$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.1.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 2$ で置き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.4.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.4.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3

簡約します。

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ステップ 2.3.7.3.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3.2

指数を足して $u_{2}$ に ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.7.3.2.1

$u_{2}$ に ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.3.7.3.2.1.1

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.7.4.1

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.4.2

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.7.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

$- (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 2 |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ として書き換えます。

$| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 2 = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 2$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ を $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 2$

ステップ 4.2

$e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$

微分積分 例

微分積分例