微分積分例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 1.2

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 1.3

$y$ を $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 1.4

$y$ と $\frac{x + 2}{x + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{x + 2}{x + 1}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$x + 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$2$

ステップ 2.2.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

ステップ 2.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 2.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 2.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

ステップ 2.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.4

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.4.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x + \ln (x + 1)}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{x + \ln (x + 1)}$ を掛けます。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{x + 2}{x + 1}$ と $y$ をまとめます。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.2.2

$e^{x + \ln (x + 1)}$ と $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ をまとめます。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.3

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ を $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ を $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5.1.2

$e^{x + \ln (x + 1)}$ を $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5.1.3

$e^{x + \ln (x + 1)}$ を $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 3.6

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ と $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

ステップ 3.6.2

指数を足して $e^{x + \ln (x + 1)}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.6.2.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.6.2.4

$0$ と $\ln (x + 1)$ をたし算します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

書き換えます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

ステップ 3.7.2

指数を足して $e^{x + \ln (x + 1)}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.2.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.7.2.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.7.2.4

$0$ と $\ln (x + 1)$ をたし算します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

ステップ 3.7.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

ステップ 3.7.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

ステップ 3.8

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

ステップ 3.8.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

ステップ 3.9

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

ステップ 8

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ の各項を $e^{x + \ln (x + 1)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ の各項を $e^{x + \ln (x + 1)}$ で割ります。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

微分積分 例

微分積分例