微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\sin (2 y)$ を掛けます。

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

ステップ 1.2

$\sin (2 y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = 2 y$ とします。次に $d u_{1} = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 2 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.2

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.4

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.5.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = 3 x$ とします。次に $d u_{2} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.3.2

$2$ を $- 2 \sin^{2} (y)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.3.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.4

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.2.1.4.2

$\sin^{2} (y)$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

正弦3倍角の公式を当てはめます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

ステップ 3.3.1.3.2

$\frac{- 4}{3}$ と $\sin^{3} (x)$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

ステップ 3.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1

$3$ を $3 \sin (x)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

ステップ 3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

ステップ 3.3.1.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

ステップ 3.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

ステップ 3.4

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

ステップ 3.4.3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

ステップ 3.4.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

ステップ 3.4.3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

ステップ 3.4.3.5