微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (x + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ の $2$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

$2 + 2 + K = 3$

ステップ 4.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$K = 3 - 4$

ステップ 4.3.2

$3$ から $4$ を引きます。

$K = - 1$

ステップ 5

$- 1$ を $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

微分積分 例

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