微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

ステップ 1.2

分数 $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

ステップ 1.3

$\sqrt{x^{2}} = x$ と仮定します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

ステップ 1.4

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ と $\sqrt{x^{2}}$ を単一根にまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.5

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ を分解し簡約します。

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ステップ 1.5.1

分数 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.5.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.6

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{y}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$0$ と $\sqrt{1 + V^{2}}$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

ステップ 6.1.3.2

$\sqrt{1 + V^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $V = \tan (t)$ とします。次に $d V = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

項を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.2.1

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$t$ のすべての発生を $\arctan (V)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 8.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

交点 $(1, \frac{y}{x})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{y}{x})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{y}{x})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ は $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ です。

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.5

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.5.1

$x^{2} + y^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.5.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.5.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.7

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.8

関数の正切と逆正切は逆です。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

ステップ 8.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$

微分積分 例

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