微分積分例

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

ステップ 1

$P (t) = - \frac{1}{2 t}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{2 t}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$t^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{d z}{d t}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2 t}$ と $z$ をまとめます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{z}{2 t}$ に $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2

指数を足して $t$ に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.4.2.1

$t^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2.2

$t^{\frac{1}{2}}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $t$ に関する積分は $0$ です。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

ステップ 7

$z$ について解きます。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ と $z$ をまとめます。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

ステップ 7.2

両辺に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.3

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$t^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.3.1.2

式を書き換えます。

$z = C t^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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