微分積分例

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{4}{t} d t$ を引きます。

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.2

$y - 3$ を $y$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y$

$3$

ステップ 2.2.2.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

ステップ 2.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

ステップ 2.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

ステップ 2.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.6

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.2.9

簡約します。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

ステップ 2.3.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$

微分積分 例

微分積分例