微分積分例

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 6 x + y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $6 x + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$6 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

ステップ 1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = y (2 x - 3)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $y (2 x - 3)$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 2.3

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

ステップ 2.8.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 y = 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = y (2 x - 3)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$2 x - 3$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x - 3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 5.3

$(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.3

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.9

$\frac{y^{2}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.10

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.11.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

ステップ 9.1.2

$6 x + y^{2} - y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

ステップ 10

$6 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 6 x d x$

ステップ 10.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 6 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$6$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$g (x) = 3 x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.3

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.5

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.6

$y^{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.7

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.8

$x y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.9

公分母を利用して $y^{2} x$ と $- \frac{3 y^{2}}{2}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.9.1

$y^{2}$ と $x$ を並べ替えます。

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.9.2

$x y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.9.3

$x y^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.9.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.10.1

$y^{2}$ を $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.10.1.1

$y^{2}$ を $x y^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.10.1.2

$y^{2}$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.10.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.1.10.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

ステップ 12.2

$3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.3

$3 x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.5.3

$- 3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例