微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{36 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{1}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{6^{2} - x^{2}}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\sqrt{6^{2} - x^{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\arcsin (\frac{x}{6})$ である

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{6}) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$\arcsin (\frac{x}{6}) + C_{2}$ を $\arcsin (\frac{1}{6} x) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{6} x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \arcsin (\frac{1}{6} x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \arcsin (\frac{1}{6} x) + K$ の $0$ を $x$ に、 $π$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$π = \arcsin (\frac{1}{6} \cdot 0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\arcsin (\frac{1}{6} \cdot 0) + K = π$ として書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{6} \cdot 0) + K = π$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\arcsin (\frac{1}{6} \cdot 0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$\arcsin (0) + K = π$

ステップ 4.2.1.1.2

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + K = π$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = π$

ステップ 5

$π$ を $y = \arcsin (\frac{1}{6} x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$π$ を $K$ に代入します。

$y = \arcsin (\frac{1}{6} x) + π$

ステップ 5.2

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y = \arcsin (\frac{x}{6}) + π$

微分積分 例

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