微分積分例

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

ステップ 3.2

$\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

ステップ 3.2.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$K$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.2.4

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

ステップ 3.2.5

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

ステップ 3.2.6

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.7

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.7.2

$\sqrt[3]{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.2.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

ステップ 3.2.7.5

${\sqrt[3]{3}}^{3}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{3}$ を $3^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.2.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.2.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.2.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.2.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

ステップ 3.2.7.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

ステップ 3.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

${\sqrt[3]{3}}^{2}$ を $\sqrt[3]{3^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

ステップ 3.2.8.2

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

ステップ 3.2.9

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

ステップ 3.2.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$

微分積分 例

微分積分例