微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

ステップ 1

$v = e^{6 x - 5 y}$ とします。 $v$ を $e^{6 x - 5 y}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = x v$

ステップ 2

$e^{6 x - 5 y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 6 x - 5 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x - 5 y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x - 5 y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $6 x - 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

ステップ 2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

ステップ 2.5

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

ステップ 2.6

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

ステップ 3

$v$ を $e^{6 x - 5 y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

ステップ 5

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ の各項に $- (5 v)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ の各項に $- (5 v)$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$5 v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.1.2

$5 v$ を $- (5 v)$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

$5$ を $- (5 v)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

ステップ 5.2.1.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

ステップ 5.3.2

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$v$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

ステップ 5.3.2.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

ステップ 6

微分方程式を解くために、 $n$ が $v^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = v^{- 1}$

ステップ 7

$v$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 8

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 9

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 9.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 9.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 10

元の方程式 $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d v}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 11

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 11.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.5.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.6

$- 6 \cdot - 1 v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.7

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3.2

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.2.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.2.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.3

$- 5 x v^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

ステップ 11.2

$P (x) = 6$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

積分を設定します。

$e^{\int 6 d x}$

ステップ 11.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{6 x + C}$

ステップ 11.2.3

積分定数を削除します。

$e^{6 x}$

ステップ 11.3

各項に積分因数 $e^{6 x}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1

各項に $e^{6 x}$ を掛けます。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

ステップ 11.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

ステップ 11.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

ステップ 11.3.4

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

ステップ 11.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

ステップ 11.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

ステップ 11.6

左辺を積分します。

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

ステップ 11.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

ステップ 11.7.2

$u = x$ と $d v = e^{6 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

ステップ 11.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.3.1

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

ステップ 11.7.3.2

$x$ と $\frac{e^{6 x}}{6}$ をまとめます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

ステップ 11.7.3.3

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

ステップ 11.7.4

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

ステップ 11.7.5

$u = 6 x$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.5.1

$u = 6 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.5.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 11.7.5.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 11.7.5.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 11.7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

ステップ 11.7.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

ステップ 11.7.7

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

ステップ 11.7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.8.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.7.8.2

$6$ に $6$ をかけます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.7.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

ステップ 11.7.10

$5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ を $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

ステップ 11.7.11

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

ステップ 11.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1.1

$e^{6 x}$ と $\frac{1}{36}$ をまとめます。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

ステップ 11.8.1.2

括弧を削除します。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

ステップ 11.8.2

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ の各項を $e^{6 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.1

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ の各項を $e^{6 x}$ で割ります。

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.2.1

$e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.1.1

$e^{6 x}$ を $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.1.1.1

$e^{6 x}$ を $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ で因数分解します。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.1.2

$e^{6 x}$ を $- \frac{e^{6 x}}{36}$ で因数分解します。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.1.3

$e^{6 x}$ を $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ で因数分解します。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.2

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.3

$\frac{x}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.1.4.1

$\frac{x}{6}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.4.2

$6$ に $6$ をかけます。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.6

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.1.7.1

$\frac{6 x - 1}{36}$ と $5$ をまとめます。

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.7.2

$\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.1.8

$5$ を $6 x - 1$ の左に移動させます。

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.3

まとめる。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.4

$e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.1.5

$5$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.2

$\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ を掛けます。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.3

$\frac{C}{e^{6 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{36}{36}$ を掛けます。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

ステップ 11.8.2.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36 e^{6 x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.4.1

$\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ に $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ をかけます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

ステップ 11.8.2.3.4.2

$\frac{C}{e^{6 x}}$ に $\frac{36}{36}$ をかけます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

ステップ 11.8.2.3.4.3

$e^{6 x} \cdot 36$ の因数を並べ替えます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.3.6.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.6.2

$6$ に $5$ をかけます。

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.6.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.6.4

分配則を当てはめます。

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

ステップ 11.8.2.3.6.5

$36$ を $C$ の左に移動させます。

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

ステップ 12

$v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

ステップ 13

$v$ のすべての発生を $e^{6 x - 5 y}$ で置き換えます。

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

ステップ 14

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

ステップ 14.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ を展開します。

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

ステップ 14.2.2

$6 x - 5 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{6 x - 5 y})$ を展開します。

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

ステップ 14.2.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

ステップ 14.2.4

$6 x - 5 y$ に $1$ をかけます。

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

ステップ 14.3

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ を $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ に書き換えます。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

ステップ 14.3.2

$\ln (36 e^{6 x})$ を $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ に書き換えます。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

ステップ 14.3.3

$6 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{6 x})$ を展開します。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

ステップ 14.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

ステップ 14.3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

ステップ 14.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$- (6 x - 5 y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1.1

分配則を当てはめます。

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

ステップ 14.4.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1.2.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

ステップ 14.4.1.2.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

ステップ 14.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

ステップ 14.5.1.1.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

ステップ 14.5.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.3.1

分数 $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ を2つの分数に分割します。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.3.2.1

$5 e^{6 x}$ を $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.3.2.1.1

$5 e^{6 x}$ を $30 x e^{6 x}$ で因数分解します。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3.2.1.2

$5 e^{6 x}$ を $- 5 e^{6 x}$ で因数分解します。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3.2.1.3

$5 e^{6 x}$ を $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ で因数分解します。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3.2.2

$36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

ステップ 14.5.1.3.2.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

ステップ 14.6

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1

方程式の両辺に $6 x$ を足します。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

ステップ 14.6.2

$\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.2.1

$- 6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

ステップ 14.6.2.2

$\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ と $0$ をたし算します。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

ステップ 14.7

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.1

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

ステップ 14.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

ステップ 14.7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

微分積分 例

微分積分例