微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{3}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{3 \ln (x)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{3})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{3}$

ステップ 2

各項に積分因数 $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $x^{3}$ を掛けます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.3.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

ステップ 6.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

ステップ 6.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 6.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 6.4.2.2.4

式を書き換えます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

ステップ 6.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

ステップ 6.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 6.6

答えを簡約します。

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ステップ 6.6.1

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.6.2

簡約します。

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ステップ 6.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.6.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

ステップ 6.6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

ステップ 6.6.3

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

ステップ 6.6.4

項を並べ替えます。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

ステップ 7.1.2

括弧を削除します。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

ステップ 7.2

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (x)$ を簡約します。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.4.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.4.3

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.4.4

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.4.5

式を書き換えます。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.5

$\frac{- 1}{4}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 7.2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

微分積分 例

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