微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.6

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.9

$x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

ステップ 2.3.1.10

$2$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

ステップ 2.3.1.11

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

ステップ 2.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

ステップ 2.3.7.3

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$

微分積分 例

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