微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

ステップ 1

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ と仮定します。

ステップ 2

$(3, 1)$ の近辺で関数が連続か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$(3, 1)$ 値を $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{3 - y}$

ステップ 2.1.2

$1$ を $y$ に代入します。

$\sqrt{3 - 1}$

ステップ 2.1.3

$3$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{2}$

ステップ 2.2

負または0の独立変数をもつ対数、0または負の根号をもつ偶数根、および分母に0をもつ分数がないので、関数は $(3, 1)$ の $x$ 値の周りの開区間で連続です。

連続

ステップ 3

$y$ について部分微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

部分微分係数を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

ステップ 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - y}$ を ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 3.9

総和則では、 $x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 3.10

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 3.11

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 3.12

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 3.14.2

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.14.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$y$ について部分微分係数が $(3, 1)$ の近辺で関数が連続か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

ステップ 4.2

$(3, 1)$ 値を $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

ステップ 4.2.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

ステップ 4.2.3

$3$ を $y$ に代入します。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

ステップ 4.3

負または0の独立変数をもつ対数、0または負の根号をもつ偶数根、および分母に0をもつ分数がないので、関数は $(3, 1)$ の $y$ 値の周りの開区間で連続です。

連続

ステップ 5

関数と $y$ についてその部分微分係数は、 $(3, 1)$ の $x$ 値の周りの開区間で連続です。

一意解1つ

微分積分 例

微分積分例