微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\cos (2 y)$ を掛けます。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\cos (2 y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$\cos (2 y)$ を $2 \cos (2 y)$ で因数分解します。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

ステップ 1.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ を $8 e^{4 x}$ で因数分解します。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

ステップ 1.2.2.2.4

$4 e^{4 x}$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = 2 y$ とします。次に $d u_{1} = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 2 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2.2

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2.4

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 y)$ をまとめます。

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

ステップ 3.3

$2 e^{4 x}$ と $2 K$ を並べ替えます。

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

ステップ 3.5

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$

微分積分 例

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