微分積分例

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

ステップ 2

$y'$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

ステップ 2.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{3 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.2.7

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 e^{4 x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 2.3.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 2.3.3.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

ステップ 2.3.3.7

$4$ に $- 5$ をかけます。

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

ステップ 3

$y''$ を求めます。

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ステップ 3.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ です。

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 e^{3 x}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.3.7

$3$ に $6$ をかけます。

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 e^{4 x}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 3.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 3.4.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

ステップ 3.4.7

$4$ に $- 20$ をかけます。

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

ステップ 4

与えられた微分方程式に代入します。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5.1.2

$6$ に $- 7$ をかけます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5.1.3

$- 20$ に $- 7$ をかけます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5.1.4

分配則を当てはめます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5.1.5

$2$ に $12$ をかけます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

ステップ 5.1.6

$- 5$ に $12$ をかけます。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

ステップ 5.2

$18 e^{3 x}$ から $42 e^{3 x}$ を引きます。

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

ステップ 5.3

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.1

$- 24 e^{3 x}$ と $24 e^{3 x}$ をたし算します。

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

ステップ 5.3.2

$0$ から $80 e^{4 x}$ を引きます。

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

ステップ 5.4

$- 80 e^{4 x}$ と $140 e^{4 x}$ をたし算します。

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

ステップ 5.5

$60 e^{4 x}$ から $60 e^{4 x}$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 6

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ は $y'' - 7 y' + 12 y = 0$ の解です

微分積分 例

微分積分例