微分積分例

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

ステップ 2.3.3

$2 t - 1$ は $x$ に対して定数なので、 $2 t - 1$ を積分の外に移動させます。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

ステップ 3

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ の各項を $t$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ の各項を $t$ で割ります。

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

ステップ 3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

ステップ 3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

$2$ を $2 x^{2} t$ で因数分解します。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

ステップ 3.3.2.7

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.8

公分母を利用して $x^{2} t$ と $- \frac{x^{2}}{2}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.8.1

$x^{2}$ と $t$ を並べ替えます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.8.2

$t x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.8.3

$t x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.8.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.9.1

$x^{2}$ を $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.9.1.1

$x^{2}$ を $t x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.9.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.9.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.2.9.2

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.3

$6 e^{2 t} t x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$6 e^{2 t} t x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$x$ を $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.5.1.1

$x$ を $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.1.2

$x$ を $x^{2} (2 t - 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.1.3

$x$ を $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.2

$2$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.5

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.5.6

各項を簡約します。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

ステップ 3.3.6

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.7.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.3.1.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.3.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

ステップ 3.3.8.4

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

ステップ 3.3.9

$\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

ステップ 3.3.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

ステップ 3.3.11

$\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ に $\frac{1}{t}$ をかけます。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$

微分積分 例

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