微分積分例

$2 y (x + 1) d y = x d x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2.2

$2$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2.3

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ を $y (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2.3.3

式を書き換えます。

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x + 1}$ と $x$ をまとめます。

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.2.3.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 3.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 3.3.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 3.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 3.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 3.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 3.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3.3.5

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.5.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.3.5.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.3.5.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3.5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.3.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 3.3.7

簡約します。

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 3.3.8

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 4.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 4.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

微分積分 例

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