微分積分例

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $\sin (θ) r$ の微分係数の結果か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (θ) = \sin (θ)$ および $g (θ) = r$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d θ} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 1.3

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

ステップ 1.4

$\frac{d r}{d θ}$ を $r'$ に代入します。

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

ステップ 4

左辺を積分します。

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

ステップ 5

$\tan (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\ln (| \sec (θ) |)$ です。

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

ステップ 6

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ の各項を $\sin (θ)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ の各項を $\sin (θ)$ で割ります。

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

分数を分解します。

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.3.1.2

$\frac{1}{\sin (θ)}$ を $\csc (θ)$ に変換します。

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.3.1.3

$\ln (| \sec (θ) |)$ を $1$ で割ります。

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

ステップ 6.3.1.4

分数を分解します。

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

ステップ 6.3.1.5

$\frac{1}{\sin (θ)}$ を $\csc (θ)$ に変換します。

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

ステップ 6.3.1.6

$C$ を $1$ で割ります。

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$

微分積分 例

微分積分例