微分積分例

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $e^{x} e^{y} d x$ を引きます。

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.2

$e^{- 2 y}$ と $\frac{1}{e^{y}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.3

$e^{- 2 y}$ と $e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$e^{y}$ を $e^{- 2 y}$ で因数分解します。

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.3.2.4

$e^{- 3 y}$ を $1$ で割ります。

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.5

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{e^{y}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

ステップ 3.5.2

$e^{y}$ を $e^{x} e^{y}$ で因数分解します。

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

ステップ 3.6

指数を足して $e^{x - y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

ステップ 3.6.2

$x - y + y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.6.2.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

ステップ 3.6.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u = - 3 y$ とします。次に $d u = - 3 d y$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1

$u = - 3 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 3 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 4.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.5.2

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.8

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.2.9

$u$ のすべての発生を $- 3 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

ステップ 4.3.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{- 3 y}$ をまとめます。

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 (- e^{x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

ステップ 5.4

左辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

$- 3 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 3 y})$ を展開します。

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

ステップ 5.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

ステップ 5.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

ステップ 5.5

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$

微分積分 例

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