微分積分例

$x \sqrt{1 + y^{2}} d x + y \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x \sqrt{1 + y^{2}} d x$ を引きます。

$y \sqrt{1 + x^{2}} d y = - x \sqrt{1 + y^{2}} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.3

$\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6

${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.2.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y$ と $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ と $\sqrt{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.4

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.5

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1 + 1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y \sqrt{{(1^{2} + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{y ((1^{2} + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{y ((1 + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{y (1 \sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.5

$\sqrt{1 + y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.6

$\sqrt{1 + y^{2}}$ を $\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.6.2

$\sqrt{1 + y^{2}}$ を $x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.4.6.3

$\sqrt{1 + y^{2}}$ を $\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.5

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.7

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ をかけます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}) (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ をかけます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.2

$\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.3

$\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6

${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.8.6.5

簡約します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

ステップ 3.9

$- \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$x$ と $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}} d x$

ステップ 3.9.2

$\sqrt{1 + y^{2}}$ と $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{1 + y^{2}} (x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.9.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + y^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.9.4

$1 + y^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} (1 + y^{2}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.9.5

$1 + y^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} {(1 + y^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.9.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1 + 1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.9.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1^{2} + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1^{2} + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1 + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (1 \sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.5

$\sqrt{1 + x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.6

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.6.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.10.6.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.11

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

ステップ 3.11.2

式を書き換えます。

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 4.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 4.2.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2.2

指数を足して $u_{1}$ に ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.2.1

$u_{1}$ に ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.2.1.1

$u_{1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.3.2

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.5

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6.2.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y^{2}$ で置き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.3.2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2

指数を足して $u_{2}$ に ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1

$u_{2}$ に ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ です。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.8

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例