微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\sqrt{y} - y$ を掛けます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} + x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2.1.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2.1.2.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y} - y}$

ステップ 1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} - y}$

ステップ 1.2.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}$

ステップ 1.2.2.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- y$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.2.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{y} - y$ に $\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$ をかけます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(\sqrt{y} - y) (x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}))}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.4.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$1$ を掛けます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.4.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- y$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.4.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.5

共通因数を約分します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.2.6

式を書き換えます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2.7

共通因数を約分します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2.8

$x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$ を $1$ で割ります。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.2.9

分配則を当てはめます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.10

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.11

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.11.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.11.2

公分母の分子をまとめます。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}$

ステップ 1.2.11.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.2.11.4

$2$ を $2$ で割ります。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{1}$

ステップ 1.2.12

$x^{1}$ を簡約します。

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(\sqrt{y} - y) d y = (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sqrt{y} - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt{y} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int y^{\frac{1}{2}} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - \int y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \int x d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

微分積分 例

微分積分例