微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$y^{2}$ を $3 x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ を $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{3 x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.4

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

ステップ 3.4.3

$\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3.4.4

$\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.5.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.5.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 3.4.5.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.5.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.5.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.5.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.5.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

ステップ 3.4.5.5.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

ステップ 3.4.6

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.8

$\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

微分積分 例

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