微分積分例

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.1.2

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{e^{y}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.3

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$e^{y}$ を $x e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

ステップ 3.3.2

$e^{y}$ を $(5 - x) e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x}$ に $5 - x$ をかけます。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$e^{y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(e^{y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u = y$ と $d v = e^{- y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.4

簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.4.2

$\int e^{- y} d y$ に $1$ をかけます。

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.5

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.5.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.5.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 4.2.5.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.8

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ を $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ に書き換えます。

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.9

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.2.10

項を並べ替えます。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

ステップ 4.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.6

定数の法則を当てはめます。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

ステップ 4.3.8

項を並べ替えます。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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