微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

ステップ 1.4

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

微分積分例