微分積分例

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{3} d x$ を引きます。

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と ${(y + 1)}^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3 (- \frac{x^{4}}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 3$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

書き換えます。

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4.2

0を加えて簡約します。

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4.3

$3$ を $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$3$ を $- \frac{3 x^{4}}{4}$ で因数分解します。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

ステップ 3.4.3.2

$3$ を $3 K$ で因数分解します。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

ステップ 3.4.3.3

$3$ を $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ で因数分解します。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

ステップ 3.4.4

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

ステップ 3.4.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$K$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

ステップ 3.4.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.6

$4$ を $K$ の左に移動させます。

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

ステップ 3.4.7

$3$ と $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ をまとめます。

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

ステップ 3.4.8

$\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.4.9

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.10

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.10.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.10.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.4.10.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.10.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.10.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.10.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.5.4.1

共通因数を約分します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.10.5.4.2

式を書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.4.10.5.5

指数を求めます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.11.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 3.4.11.2

$4$ を $2$ 乗します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 3.4.11.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.11.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 3.4.11.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.11.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 3.4.11.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.11.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.11.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

ステップ 3.4.12

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.12.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ で因数分解します。

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

ステップ 3.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.12.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.12.2.3

式を書き換えます。

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

ステップ 3.6

$\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.6.2

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.6.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.6.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$

微分積分 例

微分積分例