微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{- 2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

ステップ 1.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{- 2}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

ステップ 1.2.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

ステップ 1.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

ステップ 1.2.3.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

ステップ 1.2.4

$- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ を簡約します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

ステップ 1.2.5

$e^{x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{- 2}$ を分子に移動させます。

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$e^{x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3 (- \frac{e^{x}}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 3$ と $\frac{e^{x}}{4}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$3$ を $- \frac{3 e^{x}}{4}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ を $3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

ステップ 3.4.1.3

$3$ を $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.4

$4$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

ステップ 3.4.5

$3$ と $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

ステップ 3.4.6

$\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.4.7

$\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.8.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.4.8.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.8.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.8.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.4.8.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 3.4.9.2

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 3.4.9.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.9.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 3.4.9.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.9.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 3.4.9.5

指数をまとめます。

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ステップ 3.4.9.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.9.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

ステップ 3.4.10

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.10.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.10.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$

微分積分 例

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