微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = 1 - \tan (x)$ とします。次に $d u = - \sec^{2} (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 - \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$1 - \tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

ステップ 2.3.2.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

総和則では、 $1 - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$0 - \sec^{2} (x)$

ステップ 2.3.2.1.4

$0$ から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$- \sec^{2} (x)$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ を $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $1 - \tan (x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$

微分積分 例

微分積分例