微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y^{2}$ を $y^{2} + x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$y^{2}$ に $1 + x$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

ステップ 1.2

$x^{2}$ を $x^{2} y - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 1.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{y - 1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{y^{2}}{y - 1}$ に $\frac{1 + x}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

ステップ 1.5.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$y - 1$ を $(y - 1) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$(y - 1) y^{- 2}$ を掛けます。

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

指数を足して $y$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$y$ に $y^{- 2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2

$- 1 y^{- 2}$ を $- y^{- 2}$ に書き換えます。

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

$y^{- 1}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.7

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

簡約します。

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

$(1 + x) x^{- 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例