微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 5.1

変数を分けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$V + e^{V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

ステップ 5.1.1.1.2.2

$0$ と $e^{V}$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

ステップ 5.1.2

両辺に $\frac{1}{e^{V}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

ステップ 5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

ステップ 5.1.3.2

$e^{V}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

ステップ 5.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 5.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$e^{V}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

${(e^{V})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$- 1 V$ を $- V$ に書き換えます。

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$e^{- V}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

$u = - V$ とします。次に $d u = - d V$ すると、 $- d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.2.2.2.1

$u = - V$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

$- V$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [- V]$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $- V$ の微分係数は $- \frac{d}{d V} [V]$ です。

$- \frac{d}{d V} [V]$

ステップ 5.2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.2.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.5

簡約します。

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.6

$u$ のすべての発生を $- V$ で置き換えます。

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

ステップ 5.3

$V$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.2.2

$e^{- V}$ を $1$ で割ります。

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.3.1.2

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

ステップ 5.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.3.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.3.1

$- V$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- V})$ を展開します。

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.3.4

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

ステップ 5.3.4.2.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

$\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ を $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ に書き換えます。

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 5.4

積分定数を簡約します。

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$

微分積分 例

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