微分積分例

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$z + 5$ を $4 z + 19$ で割ります。

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ステップ 2.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 z$

$19$

$z$

$5$

ステップ 2.3.1.2

被除数 $z$ の最高次項を除数 $4 z$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

ステップ 2.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

ステップ 2.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $z + \frac{19}{4}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

ステップ 2.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $z$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

ステップ 2.3.5

$u = 4 z + 19$ とします。次に $d u = 4 d z$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = 4 z + 19$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$4 z + 19$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $4 z + 19$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ です。

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

ステップ 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d z} [4 z]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.3.1

$4$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $4 z$ の微分係数は $4 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

ステップ 2.3.5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

ステップ 2.3.5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

ステップ 2.3.5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.5.1.4.1

$19$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $19$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

ステップ 2.3.6.2

$4$ を $u$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $4 z + 19$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$

微分積分 例

微分積分例