微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.2.2

$6$ と $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.2.3

${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y - 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y - 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.2.2

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{- \frac{2}{3}}$ の $u$ に関する積分は $3 u^{\frac{1}{3}}$ です。

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$6$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.2.2

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

共通因数を約分します。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

二項定理を利用します。

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.2.1

$3$ を $3 {(x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.4

積の法則を $\frac{K}{3}$ に当てはめます。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.5.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5.2

$3$ を $3^{2}$ で因数分解します。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5.4

式を書き換えます。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.6

$x^{2}$ と $\frac{K^{2}}{3}$ をまとめます。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.7

積の法則を $\frac{K}{3}$ に当てはめます。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

ステップ 3.3.2.1.2.8

$3$ を $3$ 乗します。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$

微分積分 例

微分積分例