微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{5 x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

ステップ 1.3.3.2

$y$ を $5 x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

ステップ 1.3.3.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

ステップ 1.3.3.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\ln (| x |)$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3

$2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 2$ と $\frac{\ln (| x |)}{5}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

ステップ 3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

ステップ 3.5.2

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ を簡約します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

ステップ 3.5.3

${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

ステップ 3.5.3.2

$2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

微分積分 例

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