微分積分例

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

ステップ 1.2

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

ステップ 1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

ステップ 1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

ステップ 1.4.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

ステップ 1.4.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

ステップ 1.5

総和則では、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.6

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.7

$0$ と $\frac{d}{d y} [2 x y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.8

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x y + x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4.2

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 y + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x + 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = x + y$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 5.1.1.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 5.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 5.1.1.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.2

総和則では、 $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.2

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.3

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.4

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.8

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.9

$\frac{3}{3}$ と ${(x + y)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.3.10.2

${(x + y)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

方程式の両辺から ${(x + y)}^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

ステップ 10

$2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.4

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.6

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.7

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.8

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.9

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 10.10

$u = x + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 10.10.1.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 10.10.1.3

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 10.10.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 10.10.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

ステップ 10.11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 10.12

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 10.13

簡約します。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

ステップ 10.14

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

ステップ 10.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.15.1

項を並べ替えます。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

ステップ 10.15.2

括弧を削除します。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ から $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ を引きます。

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

ステップ 12.2

$x y^{2} + x^{2} y - y$ と $0$ をたし算します。

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$

微分積分 例

微分積分例