微分積分例

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.2

$4$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{1}$ です。

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (x) = 4 t + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $x$ を取り出します。

$x = \tan (4 t + K)$

微分積分 例

微分積分例