微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

ステップ 2

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C_{1}}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

ステップ 3.2

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$e^{x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

ステップ 7.2

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

ステップ 7.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 7.4.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 7.4.3

$e^{x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

ステップ 7.5

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 7.6

$\int e^{x} \cos (x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ であることが分かります。

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

ステップ 7.7

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ を $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

ステップ 8

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$e^{x}$ を $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1.1.1.1

$e^{x}$ を $\cos (x) e^{x}$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.1.1.2

$e^{x}$ を $\sin (x) e^{x}$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.1.1.3

$e^{x}$ を $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{e^{x}}{2}$ を $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ で因数分解します。

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.3

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.3.2

式を書き換えます。

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.4

分配則を当てはめます。

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.5

$\frac{1}{2}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

ステップ 10

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

ステップ 11

両辺を積分します。

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ステップ 11.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3

右辺を積分します。

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ステップ 11.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.5

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.6

$C_{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 11.3.7

式を簡約します。

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ステップ 11.3.7.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

ステップ 11.3.7.2

簡約します。

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ステップ 11.3.7.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.7.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

ステップ 11.3.7.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

ステップ 11.3.7.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

ステップ 11.3.7.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

ステップ 11.3.8

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.3.8.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.3.8.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 11.3.8.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 11.3.8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 11.3.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

ステップ 11.3.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

ステップ 11.3.10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

ステップ 11.3.11

簡約します。

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

ステップ 11.3.12

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

ステップ 11.3.13

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

ステップ 11.3.14

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

ステップ 11.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$

微分積分 例

微分積分例