微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{y}{x}$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 1 + V$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = 1 + V$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 5.1

変数を分けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$1 + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 1 + 0$

ステップ 5.1.1.1.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = 1$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.2

方程式を書き換えます。

$d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

定数の法則を当てはめます。

$V + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$V + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$V = \ln (| x |) + C$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$(\ln (| x |) + C) x$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (| x |) x + C x$

ステップ 7.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.2.1

$\ln (| x |) x + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \ln (| x |) + C x$

ステップ 7.2.2.1.2.2

$x \ln (| x |)$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x + x \ln (| x |)$

微分積分 例

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