微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = 2 + 2 x$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 2 + e^{x} (2 x)$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 \cdot e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$

ステップ 2.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{x} y = \int 2 e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 6.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = 2 \int e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 6.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 6.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 \int x e^{x} d x$

ステップ 6.5

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 6.6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

簡約します。

$e^{x} y = 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

ステップ 6.7.2

簡約します。

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ステップ 6.7.2.1

$2 e^{x}$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$e^{x} y = 2 x e^{x} + 0 + C$

ステップ 6.7.2.2

$2 x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$

ステップ 7

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x + \frac{C}{e^{x}}$

微分積分 例

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