微分積分例

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$u t^{2}$ を $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$u t^{2}$ を $u t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$u t^{2}$ を $u^{4} t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

ステップ 1.1.1.3

$u t^{2}$ を $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ で因数分解します。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

ステップ 1.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

ステップ 1.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

ステップ 1.1.4.1.2

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

ステップ 1.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.3

両辺に $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ を掛けます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.2

$u$ に $1$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.3

$u$ に $u$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ を展開します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.5

$u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$u \cdot u^{2}$ と $u^{2} (- u)$ について因数を並べ替えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.5.2

$u^{2} u$ から $u^{2} u$ を引きます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.5.3

$u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ と $0$ をたし算します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$u$ に $1$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.3

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.3.1

$u$ を移動させます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.3.2

$u$ に $u$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.4

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.5

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.6.5.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.7

$u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.1

$- u^{2}$ と $u^{2}$ をたし算します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.7.2

$u$ と $0$ をたし算します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

ステップ 1.4.8

$\frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$ に $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

ステップ 1.4.9

括弧を削除します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.10

$u + u^{4}$ に $\frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ をかけます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.11.1

$u$ を $u + u^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.11.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.1.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.1.3

$u$ を $u^{4}$ で因数分解します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.1.4

$u$ を $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ で因数分解します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.3

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.11.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.11.4.2

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.12

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.12.1

共通因数を約分します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.12.2

式を書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.13

$1 + u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.13.1

共通因数を約分します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.13.2

式を書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.14

$1 - u + u^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.14.1

共通因数を約分します。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

ステップ 1.4.14.2

式を書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.6

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.7

$u$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.8

$u$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.9

$u$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.10

$u$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.11

$u$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.12

$u$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.13

$u$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.14

$u$ を移動させます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.15

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.16

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.17

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.18

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.19

負をくくり出します。

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.20

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.21

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.24

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.25

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.27

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.28

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.29

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.30

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.31

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.32

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.33

負をくくり出します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.34

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.35

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.36

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.37

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.38

負をくくり出します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.39

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.40

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.41

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.42

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.43

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.44

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.45

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.46

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.47

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.48

$u$ と $- u^{2}$ を並べ替えます。

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.49

$u$ を移動させます。

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.50

$- u^{2}$ と $u^{3}$ を並べ替えます。

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.51

$u^{2}$ と $- u^{3}$ を並べ替えます。

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.52

$u^{2}$ を移動させます。

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.53

$- u^{3}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.54

$u$ を移動させます。

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.55

$- u^{2}$ を移動させます。

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.56

$u^{3}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.57

$u^{3}$ から $u^{3}$ を引きます。

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.58

$u^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.59

$u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.1.60

$u^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.1.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.2

$(1 + t^{4}) t^{- 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 1 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$t^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3.2

指数を足して $t^{4}$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{2} d t$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \int t^{2} d t$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + K$

微分積分 例

微分積分例