微分積分例

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$4 + e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$4 + e^{2 x}$ を $(4 + e^{2 x}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$y$ を $(4 + e^{2 x}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.2.2

$y$ を $y e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

ステップ 2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$u_{2} = 4 + e^{2 x}$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$u_{2} = 4 + e^{2 x}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$4 + e^{2 x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

ステップ 3.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

総和則では、 $4 + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3.3.1.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3.1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3.1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3.1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 3.3.1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 3.3.1.1.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$0 + 2 e^{2 x}$

ステップ 3.3.1.1.4

$0$ と $2 e^{2 x}$ をたし算します。

$2 e^{2 x}$

ステップ 3.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 3.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 3.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $4 + e^{2 x}$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$

微分積分 例

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