微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $1 - x^{2}$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

ステップ 1.4

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$1 + y^{2}$ を $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

$(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ を展開します。

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ステップ 2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.3

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.4

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.5

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.6

分配則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.7

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.8

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.9

$1$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.10

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.12

負をくくり出します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.13

$x$ を $1$ 乗します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.15

$1$ から $2$ を引きます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.16

$x$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.17

$x$ を $1$ 乗します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.19

$1$ から $2$ を引きます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.20

負をくくり出します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.21

$x$ を $1$ 乗します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.22

$x$ を $1$ 乗します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.24

$1$ と $1$ をたし算します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.25

負をくくり出します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

ステップ 2.3.3.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

ステップ 2.3.3.27

$2$ から $2$ を引きます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

ステップ 2.3.3.28

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

ステップ 2.3.3.29

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

ステップ 2.3.3.30

$- x^{- 1}$ と $x^{- 1}$ をたし算します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

ステップ 2.3.3.31

$0$ から $1$ を引きます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$

微分積分 例

微分積分例