微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

ステップ 1.3

$9 y$ から $8 y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

ステップ 2

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 2.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 2.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

ステップ 6.2

定数の法則を当てはめます。

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

ステップ 6.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

ステップ 6.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

ステップ 6.5

定数の法則を当てはめます。

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

ステップ 6.6

簡約します。

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ステップ 6.6.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

ステップ 6.6.2

簡約します。

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

ステップ 7

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.3.2

$- 6$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例