微分積分例

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x y^{3} d x$ を引きます。

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$e^{- x}$ を $e^{- x} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3.1.2

$e^{- x}$ を $(y + 1) e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{3}}$ に $y + 1$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.4

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.4.2

$y^{3}$ を $e^{- x} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.4.3

$y^{3}$ を $x y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

ステップ 3.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

ステップ 3.4.5

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

ステップ 3.5

$\frac{- 1}{e^{- x}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.2

$(y + 1) y^{- 3}$ を掛けます。

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

指数を足して $y$ に $y^{- 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$y$ に $y^{- 3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.3.1.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.3.2

$y^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.5

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.6

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.2.8

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

ステップ 4.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$e^{- x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(e^{- x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

ステップ 4.3.2.2.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

ステップ 4.3.3

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 4.3.4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

微分積分 例

微分積分例