微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y e^{- x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ は特殊な積分です。この積分は誤差関数です。

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{e r f (x) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

ステップ 3.3.2

$e r f$ に $x$ をかけます。

$| y | = e^{e r f x + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{e r f x + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{e r f x + C}$ を $e^{e r f x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{e r f x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{e r f x}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{e r f x}$ の $4$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ として書き換えます。

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

ステップ 6.2

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$ の各項を $e^{e r f \cdot 4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$ の各項を $e^{e r f \cdot 4}$ で割ります。

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$e^{e r f \cdot 4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$4$ を $e r f$ の左に移動させます。

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

ステップ 7

$\frac{1}{e^{4 e r f}}$ を $y = C e^{e r f x}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{e^{4 e r f}}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{e^{4 e r f}}$ と $e^{e r f x}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

ステップ 7.3

$e^{e r f x}$ と $e^{4 e r f}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$e^{4 e r f}$ を $e^{e r f x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

ステップ 7.3.2.4

$e^{e r f x - 4 e r f}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$

微分積分 例

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