微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ を掛けます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y$ を $2 y^{3} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$y$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.1.3

$y$ を $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$y$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

ステップ 1.3.3

$y$ を $2 y^{3} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$y$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

ステップ 1.3.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

ステップ 1.3.3.3

$y$ を $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

ステップ 1.3.4

$y^{5}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$y$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

ステップ 1.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

ステップ 1.3.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

ステップ 1.3.5

$\frac{x - 1}{x^{2}}$ に $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ をかけます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.3.6

$2 y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$2 y^{2} - 1$ を $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.7

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$y^{4}$ を $(x - 1) y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.3.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.3.7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y$ を $2 y^{3} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1.1

$y$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.1.1.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.1.1.3

$y$ を $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

$y$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$y^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

${(y^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ を掛けます。

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$y^{- 4}$ を移動させます。

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.1.3

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2

$- 1 y^{- 4}$ を $- y^{- 4}$ に書き換えます。

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8

べき乗則では、 $y^{- 4}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ です。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1.1

$y^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.2

簡約します。

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9.3.5

$\frac{1}{3 y^{3}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

$(x - 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2

$- 1 x^{- 2}$ を $- x^{- 2}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.5

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

簡約します。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

ステップ 2.3.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

ステップ 2.3.8.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例