微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

ステップ 1

$P (x) = 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 1.2

$2 x$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

ステップ 2.3

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 6.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 6.1.1.4

簡約します。

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ステップ 6.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 6.1.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 6.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 6.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 7

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

微分積分 例

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