微分積分例

$x d x - y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x d x$ を引きます。

$- y^{2} d y = - x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - y^{2} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int y^{2} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - x d x$

ステップ 2.2.3

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 3$ を掛けます。

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$y^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{y^{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2}) - 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 3 (- \frac{x^{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$3$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$3$ を $\frac{3 x^{2}}{2}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ を $- 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)}$

ステップ 3.4.1.3

$3$ を $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K)}$

ステップ 3.4.2

$- K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 3.4.3

$- K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- K \cdot 2}{2})}$

ステップ 3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 K}{2}}$

ステップ 3.4.6

$3$ と $\frac{x^{2} - 2 K}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$

ステップ 3.4.7

$\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.4.8

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.9.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 3.4.9.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.9.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.9.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.9.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.9.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.9.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.9.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.4.9.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.10.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.4.10.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 3.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.11.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K) \cdot 4}}{2}$

ステップ 3.4.11.2

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} + K)}}{2}$

微分積分 例

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